Potenser och rötter

En potens är ett kort sätt att skriva upprepad multiplikation.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Kvadratroten går åt andra hållet: $\sqrt{49} = 7$ eftersom $7^2 = 49$.

Varför det är värt att kunna: potenser gör det möjligt att skriva mycket stora och mycket små tal kort.

En stor språkmodell har ungefär $10^{11}$ parametrar och tränas på ungefär $10^{13}$ tokens. Att skriva ut de talen vore ohanterligt.

Potenslagarna — alla följer av att skriva ut multiplikationen:

Raden om $a^0 = 1$ förvånar många. Titta på mönstret: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$, $2^0 = ?$ — varje steg nedåt halverar, så nästa är 1. Och sedan $2^{-1} = 0{,}5$.

Två vanliga fel:

Det andra är ett av de vanligaste felen i all skolmatematik. Kontrollera med tal: $(1+2)^2 = 9$, men $1^2 + 2^2 = 5$.

import math

print(2 ** 5, math.sqrt(49), 49 ** 0.5)          # 32 7.0 7.0

# Potenslagarna, kontrollerade numeriskt
assert 2**3 * 2**4 == 2**7
assert 2**5 / 2**2 == 2**3
assert (2**3) ** 2 == 2**6
assert 7**0 == 1
assert 2**-3 == 1 / 8
assert abs(9 ** 0.5 - math.sqrt(9)) < 1e-12
print("alla potenslagar håller")

# Mönstret som förklarar a⁰ = 1
for e in range(3, -4, -1):
    print(f"2^{e:>2} = {2.0 ** e}")
# 2^ 3 = 8.0
# 2^ 0 = 1.0
# 2^-3 = 0.125

# Det klassiska felet — kontrollera med tal
a, b = 1, 2
print((a + b) ** 2, a**2 + b**2)                 # 9 5  ← inte samma sak!
print((a + b) ** 2, a**2 + 2*a*b + b**2)         # 9 9  ← rätt

# Stora och små tal
print(f"{10**11:,} parametrar")                  # 100,000,000,000
print(f"{1.75e12:,.0f} tokens")                  # 1,750,000,000,000
print(2 ** 10, 2 ** 20, 2 ** 30)                 # 1024 1048576 1073741824
#      ↑ kilo      ↑ mega        ↑ giga (i datorernas tvåpotenser)