Linjära samband i tabeller

En tabell döljer ofta ett mönster. Sättet att hitta det är att titta på skillnaden mellan raderna.

Timmar (x)	Lön (y)	Skillnad
0	0
1	130	+130
2	260	+130
3	390	+130
4	520	+130

Samma skillnad varje steg → linjärt samband. Här dessutom proportionellt, eftersom det börjar på 0.

En annan tabell:

Månader (x)	Sparat (y)	Skillnad
0	500
1	800	+300
2	1 100	+300
3	1 400	+300

Också linjärt (+300 varje gång), men det startar på 500. Alltså y = 300x + 500.

Två tal beskriver hela sambandet:

• Startvärdet — vad y är när x är 0.
• Förändringen per steg — hur mycket y ökar när x ökar med 1.

Formen är alltid densamma:

$y = kx + m$

Bokstav	Betyder	Var i tabellen
k	förändring per steg	skillnaden mellan raderna
m	startvärde	y-värdet där x = 0

Om tabellen inte börjar på x = 0:

x	y
2	17
4	25
6	33

Skillnaden är +8 per två steg i x, alltså k = 8/2 = 4. Och m: gå bakåt från x = 2 till x = 0, två steg à 4 → 17 − 2·4 = 9. Alltså y = 4x + 9.

Kontroll: 4·6 + 9 = 33. ✓

Inte linjärt — hur det ser ut:

x	y	Skillnad
1	2
2	4	+2
3	8	+4
4	16	+8

Skillnaden är inte konstant — den dubblas. Det är exponentiellt (y = 2ˣ), inte linjärt.

Tumregeln: konstant skillnad → linjärt. Konstant kvot → exponentiellt.

I ett koordinatsystem blir linjära samband punkter på en rak linje. Det är det snabbaste sättet att se vilken sort du har: rita fyra punkter och titta.

Hitta k och m i fyra tabeller. Skriv svaret innan du läser facit.

A

x	0	1	2	3
y	7	12	17	22

B

x	1	2	3	4
y	100	90	80	70

C

x	0	2	4	6
y	3	11	19	27

D

x	1	2	3	4
y	3	9	27	81

Facit:

• A: k = 5, m = 7 → y = 5x + 7
• B: k = −10, m = 110 → y = −10x + 110 (negativ lutning, y minskar)
• C: skillnaden är +8 per 2 steg → k = 4, m = 3 → y = 4x + 3
• D: inte linjärt — kvoten är 3 varje gång, alltså y = 3ˣ

Rita alla fyra i ett koordinatsystem. A, B och C blir raka linjer. D böjer uppåt allt brantare — och det syns tydligare i grafen än i tabellen.

Nästa steg: i verkliga mätningar ligger punkterna aldrig exakt på en linje. Då handlar det om att hitta den linje som passar bäst — och det är precis vad nästa nod och all linjär regression går ut på.