Linjen genom punkterna

Verkliga mätningar ligger aldrig exakt på en linje.

 y
  |                        ●
  |                   ●
  |              ●  ●
  |         ●
  |    ●
  |________________________ x

Punkterna följer tydligt en riktning, men ingen rak linje går genom alla. Uppgiften är att hitta den linje som passar bäst.

Gör det för hand, med linjal:

1. Rita punkterna.
2. Lägg linjalen så att ungefär lika många punkter hamnar över som under.
3. Dra linjen.
4. Läs av två punkter på linjen (inte på datan!) och räkna ut k och m.

Och sedan kan du gissa. Ligger en ny mätning vid x = 7, läs av vad linjen säger om y där. Det är en förutsägelse — och det är, i sin allra enklaste form, precis vad en maskininlärningsmodell gör.

Räkna ut k och m ur två punkter på linjen:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad m = y_1 - k\,x_1$

Exempel: linjen går genom (2; 14) och (6; 30).

$k = \frac{30 - 14}{6 - 2} = \frac{16}{4} = 4, \qquad m = 14 - 4\cdot2 = 6$

Alltså y = 4x + 6. Kontroll med den andra punkten: 4·6 + 6 = 30. ✓

Hur bra passar linjen? Mät residualerna — avståndet från varje punkt till linjen:

x	Verkligt y	Linjen säger	Residual
1	11	10	+1
2	13	14	−1
3	19	18	+1
4	21	22	−1

Små residualer, hälften positiva och hälften negativa — en bra linje. Är de systematiskt positiva i ena änden och negativa i den andra är sambandet troligen inte rakt.

Två varningar om förutsägelser:

1. Extrapolering är farligt. Linjen gäller inom det intervall du har data för. Ett barns längd ökar linjärt mellan 5 och 10 års ålder — men fortsätter du linjen till 40 år får du en tre meter lång person.
2. Samband är inte orsak. Att glassförsäljning och drunkningar följer samma linje betyder inte att glass är farligt. Båda beror på värmen.

Detta är maskininlärning i miniatyr. Datorn gör samma sak, fast den provar sig fram till den linje som gör residualerna kvadrerade så små som möjligt — minsta kvadratmetoden.

Läs av linjen ur ett diagram. Sex mätningar av hur länge en mobil håller mot hur mycket den används:

Batteri (%)
100 |●
    |   ●
 80 |      ●
    |         ●
 60 |            ●
    |               ●
 40 |
    |________________________
     0   1   2   3   4   5   timmar

Punkterna: (0; 100), (1; 92), (2; 85), (3; 77), (4; 70), (5; 62).

Steg 1 — skillnaderna: −8, −7, −8, −7, −8. Nästan konstant → linjärt.

Steg 2 — k: från (0; 100) till (5; 62): (62 − 100)/(5 − 0) = −7,6 procent per timme.

Steg 3 — m: 100, eftersom x = 0 finns med.

Modellen: batteri = 100 − 7,6·timmar

Steg 4 — använd den:

• Efter 7 timmar: 100 − 53,2 = 46,8 %
• När är batteriet slut? 0 = 100 − 7,6t → t ≈ 13,2 timmar

Steg 5 — var skeptisk. Den andra förutsägelsen ligger långt utanför mätområdet (0–5 timmar). I verkligheten sjunker batteriet snabbare mot slutet, och telefonen stänger av sig vid några procent. Modellen är bra på 0–6 timmar och opålitlig därefter.

Det är den viktigaste vanan att ta med sig: en modell gäller där den har data.