Proportionalitet och skala

Två storheter är proportionella om de ändras med samma faktor: dubbelt så mycket av den ena ger dubbelt så mycket av den andra.

Bullar	Pris
1	12 kr
3	36 kr
5	60 kr
10	120 kr

Dela priset med antalet: alltid 12. Det talet kallas proportionalitetskonstanten, och det är priset per bulle.

Sambandet skrivs y = 12x — och som graf blir det en rak linje genom origo.

Inte proportionellt:

Timmar	Taxikostnad
0	50 kr
1	350 kr
2	650 kr

Här kostar det 50 kr redan innan bilen rört sig. Sambandet är linjärt (y = 300x + 50) men inte proportionellt — linjen går inte genom origo.

Testet är enkelt: är y/x samma för alla rader? Då är det proportionellt.

Tre användningar av samma idé:

Användning	Fråga	Räkning
Enhetspris	vad kostar en?	pris / antal
Skala	hur stort i verkligheten?	längd på kartan · skaltal
Recept	hur mycket för 6 personer?	mängd · (6 / antal i receptet)

Skala 1:50 000 betyder att 1 cm på kartan är 50 000 cm i verkligheten, alltså 500 meter. Enhetsomvandlingen är där de flesta felen uppstår, inte multiplikationen.

Omvänd proportionalitet är när produkten är konstant i stället för kvoten:

Personer	Timmar
1	12
2	6
3	4
6	2

Produkten är alltid 12. Fler personer, kortare tid. Sambandet är y = 12/x — en hyperbel, inte en linje.

Varning: omvänd proportionalitet stämmer sällan i verkligheten. Tolv personer gör inte jobbet på en timme, och tusen personer gör det inte på 43 sekunder. Modeller gäller inom ett intervall.

Varför AI bryr sig: en linjär modell med en variabel är ett proportionellt eller linjärt samband. pris = 2400·yta är proportionellt; pris = 2400·yta + 150000 är linjärt men inte proportionellt. Konstanten 150000 kallas intercept och är precis taxins startavgift.

Avgör om sambandet är proportionellt. Dela y med x för varje rad och se om kvoten är densamma.

#	Samband	Proportionellt?
1	2 kg potatis 30 kr, 5 kg 75 kr
2	Ett mobilabonnemang: 99 kr/mån + 2 kr/GB
3	En kvadrats omkrets och sida
4	En kvadrats area och sida
5	Sträcka och tid vid konstant fart
6	Antal arbetare och tid för ett jobb

Facit:

1. Ja — 15 kr/kg i båda fallen.
2. Nej — 99 kr betalas även vid 0 GB. Linjärt, inte proportionellt.
3. Ja — omkretsen är 4s.
4. Nej — arean är s². Dubbla sidan ger fyra gånger arean.
5. Ja — s = v·t.
6. Nej — omvänt proportionellt.

Nummer 4 är den viktigaste att förstå. Det är därför en dubbelt så stor pizza innehåller fyra gånger så mycket pizza, och varför en modell med dubbelt så stora bilder behöver fyra gånger så mycket beräkning. Areor och volymer växer inte proportionellt med längder.

Räkna själv: en pizza med 30 cm diameter mot två med 20 cm — vilket ger mest? (Svar: den stora, 707 cm² mot 628 cm².)