Trigonometri — grunderna

Tänk på en punkt som går runt en cirkel med radien 1.

• cos(v) är punktens x-koordinat.
• sin(v) är dess y-koordinat.

Det är hela definitionen. Allt annat följer av den.

Eftersom punkten kommer tillbaka till samma ställe varje varv blir båda funktionerna periodiska: de upprepar sig med perioden ett varv, alltså $2\pi$ radianer (360°).

Och eftersom x² + y² = 1 för varje punkt på enhetscirkeln får man gratis:

$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$

Det är Pythagoras sats, sedd från cirkeln.

Varför det spelar roll för AI: varje periodiskt förlopp — ljudvågor, årstider, dygnsrytm — beskrivs med sinusfunktioner. Fouriertransformen delar upp en signal i just sådana. Och transformerns positionskodning använder sinus och cosinus med olika frekvenser för att ge varje position i en sekvens ett unikt mönster.

Radianer. Ett varv är $2\pi$ radianer. Vinkeln mäts som båglängden på enhetscirkeln, vilket gör derivatorna rena: $\frac{d}{dv}\sin v = \cos v$. Med grader hade det kommit en faktor $\pi/180$ överallt.

Värden att kunna utan att räkna:

$v$	0	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$
$\sin v$	0	1/2	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	1	0
$\cos v$	1	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	1/2	0	−1

Den allmänna sinusfunktionen:

$y(t) = A \sin(2\pi f t + \varphi)$

Parameter	Betyder	I ljud
$A$	amplitud	volym
$f$	frekvens i hertz	tonhöjd
$\varphi$	fasförskjutning	var i vågen den startar
$1/f$	period i sekunder	våglängdens varaktighet

Kopplingen till Fourier: varje periodisk signal kan skrivas som en summa av sinusfunktioner med olika frekvens, amplitud och fas. Fouriertransformen räknar ut vilka. Det är därför trigonometrin är förkunskapen till spektrogram.

Kopplingen till positionskodning: transformern behöver veta var i sekvensen varje token står. Ett sätt är att ge position $p$ en vektor där komponent $2i$ är $\sin(p / 10000^{2i/d})$ och komponent $2i+1$ är $\cos(\cdot)$. Låga $i$ ger snabba svängningar (skiljer grannar åt), höga $i$ ger långsamma (skiljer avlägsna positioner åt) — som siffrorna i ett binärt tal, fast kontinuerligt.

import numpy as np

# Enhetscirkeln: cos är x, sin är y
for grader in (0, 30, 45, 60, 90, 180):
    v = np.deg2rad(grader)
    print(f"{grader:3d}°  cos={np.cos(v): .3f}  sin={np.sin(v): .3f}  "
          f"sin²+cos²={np.sin(v)**2 + np.cos(v)**2:.1f}")
#   0°  cos= 1.000  sin= 0.000  sin²+cos²=1.0
#  30°  cos= 0.866  sin= 0.500  sin²+cos²=1.0
#  90°  cos= 0.000  sin= 1.000  sin²+cos²=1.0

# En ton: A · sin(2π f t)
fs, f, A = 16000, 440.0, 0.5
t = np.arange(fs) / fs
ton = A * np.sin(2 * np.pi * f * t)
print(round(float(ton.max()), 2), int(round(1 / (f / fs) )))   # 0.5  36 sampel per period

# Summa av sinusar — samma idé som Fourier, baklänges
fyrkant = sum(np.sin(2 * np.pi * (2 * k + 1) * f * t) / (2 * k + 1) for k in range(20))
print(round(float(np.abs(fyrkant).max()), 2))   # närmar sig en fyrkantvåg

# Sinusbaserad positionskodning
def poskod(T, d):
    p = np.arange(T)[:, None]
    i = np.arange(0, d, 2)[None, :]
    vinkel = p / (10000 ** (i / d))
    pe = np.zeros((T, d))
    pe[:, 0::2], pe[:, 1::2] = np.sin(vinkel), np.cos(vinkel)
    return pe

pe = poskod(50, 16)
print(round(float(pe[0] @ pe[1]), 2), round(float(pe[0] @ pe[40]), 2))   # 7.71  1.9

Sista raden visar poängen: närliggande positioner får lika vektorer, avlägsna får olika — helt utan att någon lärt sig något.