Summasymbolen och index

Σ (stora sigma) betyder bara «lägg ihop». Allt runt omkring säger vad som ska läggas ihop och hur många gånger.

$\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$

Σ är en for-loop. Det är hela hemligheten:

total = 0
for i in range(1, 5):     # 1 till och med 4
    total += i ** 2

När du ser en formel med Σ i en artikel — läs den som en loop, så blir den genast mindre skrämmande.

Vanliga varianter du kommer att stöta på:

Räkneregler som används hela tiden:

$\sum_i (a_i + b_i) = \sum_i a_i + \sum_i b_i, \qquad \sum_i c\,a_i = c\sum_i a_i$

En konstant som inte beror på räknaren kan brytas ut. En konstant inuti summan blir multiplicerad med antalet termer: $\sum_{i=1}^{n} c = nc$.

Dubbla index. En matris summeras över rader och kolumner:

$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}$

Den inre summan körs klart för varje värde på den yttre — precis som nästlade loopar. Är gränserna oberoende av varandra får ordningen bytas fritt.

Tre formler du känner igen om du läser ML:

Alla tre är «lägg ihop något för varje datapunkt och dela med antalet». När du väl sett det är notationen inte längre i vägen.

# Σ och for-loop är samma sak
summa = 0
for i in range(1, 5):
    summa += i ** 2
print(summa)                                   # 30
print(sum(i ** 2 for i in range(1, 5)))        # 30 — samma sak, kortare

# Medelvärde: (1/n) Σ x_i
x = [3, 7, 7, 2, 11]
print(sum(x) / len(x))                         # 6.0

# Skalärprodukt: Σ a_i · b_i
a, b = [1, 2, 3], [4, 5, 6]
print(sum(ai * bi for ai, bi in zip(a, b)))    # 32

# Dubbla index: ΣΣ a_ij — nästlade loopar
A = [[1, 2, 3],
     [4, 5, 6]]
print(sum(A[i][j] for i in range(2) for j in range(3)))   # 21

# Ordningen spelar ingen roll när gränserna är oberoende
print(sum(sum(rad) for rad in A))                          # 21 — rad för rad
print(sum(sum(A[i][j] for i in range(2)) for j in range(3)))  # 21 — kolumn för kolumn

# MSE — den formel du kommer att se allra oftast
y      = [3.0, 5.0, 2.0, 8.0]
y_hatt = [2.5, 5.5, 2.0, 7.0]
mse = sum((yi - hi) ** 2 for yi, hi in zip(y, y_hatt)) / len(y)
print(round(mse, 4))                            # 0.375