Integraler — grunderna

Derivatan svarar på «hur snabbt ändras det?». Integralen svarar på «hur mycket blev det totalt?».

Kör du 80 km/h i 2 timmar har du kört 160 km — hastighet integrerad över tid ger sträcka. Grafiskt är det arean under hastighetskurvan.

Grundregeln: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (för n ≠ −1).

Bestämd integral: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), där F är en primitiv funktion.

Exempel: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,67.

Analysens huvudsats: om $F'(x) = f(x)$ så är $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Derivering och integrering är varandras motsatser.

Integralen definieras som gränsvärdet av en Riemannsumma: dela intervallet i $n$ remsor med bredd $\Delta x$, summera $f(x_i)\Delta x$, låt $n\to\infty$.

Varför det spelar roll i AI:

• En sannolikhetstäthet integreras för att ge sannolikheter: $P(a < X < b) = \int_a^b p(x)\,dx$, och $\int_{-\infty}^{\infty} p(x)\,dx = 1$.
• Väntevärde: $\mathbb E[X] = \int x\,p(x)\,dx$ — grunden för nästan alla loss-funktioner, som är väntevärden över datafördelningen.
• I praktiken approximeras de flesta integraler i ML med medelvärden över stickprov (Monte Carlo), eftersom de sällan går att räkna ut exakt.

import numpy as np
from scipy import integrate

f = lambda x: x**2
print(integrate.quad(f, 0, 2)[0])          # 2.6667  (= 8/3)

# Riemannsumma för hand — samma svar när n växer
for n in (10, 100, 10_000):
    x = np.linspace(0, 2, n, endpoint=False)
    print(n, round(float((f(x) * (2 / n)).sum()), 4))
# 10     2.3080
# 100    2.6268
# 10000  2.6663

Monte Carlo-varianten: dra slumpmässiga x, ta medelvärdet av f(x), multiplicera med intervallets längd. Det fungerar även i hundra dimensioner, där remsor blir omöjligt.