Ekvationer

En ekvation är en balansvåg. Likhetstecknet betyder att de två sidorna väger lika mycket.

      2x + 3   =   11
    ┌────────┐   ┌────┐
    │  ●● ▪▪▪│   │▪×11│
    └────────┘   └────┘
         ⚖

Regeln är enkel: gör du något på ena sidan måste du göra exakt samma sak på den andra. Då förblir vågen i balans.

2x + 3 = 11
2x + 3 − 3 = 11 − 3      ← ta bort 3 från båda sidor
2x = 8
2x / 2 = 8 / 2           ← dela båda sidor med 2
x = 4

Kontrollera alltid. Sätt in 4 i den ursprungliga ekvationen: 2·4 + 3 = 11. Stämmer.

Den kontrollen tar fem sekunder och fångar nästan alla räknefel.

Arbetsordningen när ekvationen är krångligare:

Steg	Gör
1	Multiplicera bort parenteser
2	Slå ihop lika termer på varje sida
3	Flytta alla x till ena sidan, alla tal till den andra
4	Dividera med talet framför x
5	Kontrollera genom insättning

Exempel:

3(x + 2) = 5x − 4
3x + 6   = 5x − 4        (1)
3x + 6 − 3x = 5x − 4 − 3x
6 = 2x − 4               (3)
10 = 2x
x = 5                    (4)

Kontroll: 3(5 + 2) = 21 och 5·5 − 4 = 21. ✓   (5)

Tre specialfall att känna igen:

Ekvation	Blir	Betyder
2x + 3 = 2x + 3	0 = 0	alla tal är lösningar
2x + 3 = 2x + 5	3 = 5	ingen lösning
x² = 9	x = 3 eller x = −3	två lösningar

Varför AI bryr sig: att träna en modell är att lösa en ekvation — fast med miljontals obekanta och utan exakt facit. Därför används gradientnedstigning: man kan inte lösa ut svaret, man får leta sig fram.

Ställ upp ekvationen först, lös sedan. Det svåra är nästan alltid uppställningen.

#	Problem
1	Ett tal plus 7 är 22. Vilket tal?
2	Tre gånger ett tal, minus 5, är 16.
3	En taxi kostar 50 kr plus 15 kr/km. Resan kostade 155 kr. Hur långt?
4	Anna är dubbelt så gammal som Bo. Tillsammans är de 36. Hur gamla?
5	Du köper n biljetter à 120 kr och betalar 840 kr.

Facit med uppställning:

1. x + 7 = 22 → x = 15
2. 3x − 5 = 16 → 3x = 21 → x = 7
3. 50 + 15k = 155 → 15k = 105 → k = 7 km
4. x + 2x = 36 → 3x = 36 → x = 12 (Bo), Anna 24
5. 120n = 840 → n = 7

Nummer 4 är den som kräver mest tanke: du måste välja vad x ska betyda. Väljer du «Bo är x» blir det enkelt. Väljer du «Anna är x» blir det x + x/2 = 36, som också fungerar men är krångligare.

Det är ett allmänt råd: låt variabeln stå för det minsta eller enklaste av det som efterfrågas, så slipper du bråk.