Betingad sannolikhet

Betingad sannolikhet P(A|B) = sannolikheten för A givet att B redan inträffat.

Formel: P(A|B) = P(A och B) / P(B).

Exempel: i en klass med 30 elever spelar 12 fotboll, 8 spelar innebandy, 5 spelar båda.

P(innebandy | fotboll) = 5/12 ≈ 0,42 — bland fotbollsspelarna spelar 42 % också innebandy, mot 8/30 ≈ 27 % i hela klassen. Att veta att någon spelar fotboll ändrar sannolikheten. Då är händelserna beroende.

Oberoende betyder att P(A|B) = P(A) — informationen ändrar ingenting.

Bayes sats: $P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}$.

Det klassiska testexemplet. En sjukdom har prevalens 1 %. Ett test hittar 99 % av de sjuka (sensitivitet) och ger falskt positivt i 5 % av de friska fallen. Du testar positivt. Hur troligt är det att du är sjuk?

Av 10 000 personer:

• 100 sjuka → 99 positiva.
• 9 900 friska → 495 falskt positiva.
• Totalt positiva: 594. Andel verkligt sjuka: $99/594 \approx$ 17 %.

Trots ett «99-procentigt» test är du sannolikt frisk. Felslutet att svara «99 %» kallas basfrekvensfelet: man glömmer hur ovanlig sjukdomen är.

Samma matematik gäller varje sällsynt-händelse-detektor: bedrägerier, säkerhetslarm, AI-fusk-detektorer. Vid låg prevalens dominerar de falska positiva — oavsett hur bra testet låter.

prevalens, sensitivitet, falskt_pos = 0.01, 0.99, 0.05

p_pos = prevalens * sensitivitet + (1 - prevalens) * falskt_pos
p_sjuk_givet_pos = prevalens * sensitivitet / p_pos
print(round(p_sjuk_givet_pos, 3))        # 0.167

for prev in (0.001, 0.01, 0.1, 0.5):
    p = prev * 0.99 / (prev * 0.99 + (1 - prev) * 0.05)
    print(prev, round(p, 3))
# 0.001 0.019   ← nästan alla positiva är falska
# 0.01  0.167
# 0.1   0.688
# 0.5   0.952